勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。

据《周髀算经》记载，“昔者周公问与商高曰：请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升．地不可得尺寸而度． 请问数安从出． 商高曰．数之法．出于圆方． 圆出于方．方出于矩． 矩出于九九八十一． 故折矩， 以为句，广三， 股修四． 径隅五． 既方其外．半之一矩． 环而共盘．得成三四五． 两矩共长二十有五．是谓积矩． 故禹之所以治天下者．此数之所生也． 周公曰．大哉言数． 请问用矩之道． 商高曰．平矩以正绳． 偃矩以望高。覆矩以测深．卧矩以知远． 环矩以为圆．合矩以为方． 方属地．圆属天．天圆地方． 方数为典．以方出圆。笠以写天． 天青黑．地黄赤．天数之为笠也．青黑为表．丹黄为里．以象天地之位． 是故．知地者智．知天者圣． 智出于句． 句出于矩． 夫矩之于数．其裁制万物．惟所为耳． 周公曰．善哉。”

（3n、4n、5n）（n是正整数）（这是最著名的一组！俗称“勾三，股四，弦五”。古人把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。） （5n、12n、13n）（n是正整数）

（6、8、10）

（7、24、25）

（8、15、17）

（9、40、41）

（10、24、26）

（11、60、61）

（12、16、20）

（12、35、37）

（13、84、85）

（15、20、25）

（15、112、113）

（17、144、145）

（18、24、30）

(19、180、181)

（20、21、29）

（20、99、101）

（48、55、73）

（60、91、109）

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a²+b²=c²,a,b,c∈N

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种 ：

第一类型

当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n, c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

……

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二类型

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1, c=n²+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)

……

这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (大于等于2), b=4n²-1, c=4n²+1，例如：

n=2时(a,b,c)=(8,15,17)

n=3时(a,b,c)=(12,35,37)

n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

……

证明

a=2mn

b=m²-n²

c=m²+n²

证：

假设a²+b²=c²，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）

如果a,b均奇数，则a² + b² = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k² = (c+b)(c-b)

显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）

作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数

往证：(M,N)=1

如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k² = p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…，其中a₁,a₂…均为偶数，p₁,p₂,p₃…均为质数

如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾　所以对于所有质因子,pi²|M, pi²|N，即M，N都是平方数。

设M = m², N = n²

从而有c+b = 2m², c-b = 2n²，解得c=m²+n², b=m²-n², 从而a=2mn

推广形式

关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来 。

但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解！

公式

a=m，b=(m^2%20/%20k%20-%20k)%20/%202，c=(m^2%20/%20k%20+%20k)%20/%202%20①

其中m%20≥3

⒈%20当m确定为任意一个%20≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉%20当m确定为任意一个%20≥4的偶数时，k={m^2%20/%202的所有小于m的偶数因子}

基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2%20/%202的所有小于432的偶数因子}=%20{2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2%20/%20k%20-%20k)%20/%202，c=(m^2%20/%20k%20+%20k)%20/%202；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

组数N

算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论

当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数

⒈%20取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：

N=/2

⒉%20取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2%20/%202的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：

N=/2

其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。

import java.math.*; public class Test{ 　public static void main(String args){ 　int number=0; 　int a=3,b,c; 　double d; 　for(;a<100;a++) 　for(b=a+1;b<100;b++){ 　d=Math.sqrt(a*a+b*b); 　c=(int)d; 　if(c>100)break; 　if(d-c<=0){ 　number++; 　System.out.print("("+a+""+b+""+c+")"); 　if(number%4==0){ 　System.out.println(); 　} 　} 　} 　System.out.println("共有"+number+"组"); 　} 　}

C++

#include <iostream> using namespace std; int main() {     int a, b, c;     for (a = 1; a < 100; a++)     for (b = 1; b < 100; b++)     for (c = 1; c < 100; c++)     if (a<b && a*a + b*b == c*c)         cout << a << " " << b << " " << c << endl;     return 0; }

Python3.x

#通过公式求勾股数 def Ht(k, m):             '''             a = k * (m * m - n * n)      b = k * (2 * m * n)      c = k * (m * m  + n * n)     '''     result =      for k0 in range(1, k + 1):         for m0 in range(2, m + 1):             for n0 in range(1, m0):                 a = k0 * (m0 * m0 - n0 * n0)                 b = k0 * (2 * m0 * n0)                 c = k0 * (m0 * m0  + n0 * n0)                 if not {a, b, c} in result:                     result.append({a, b, c})     result =      return (sorted(result,key=lambda x:x),     '共有 {length} 组勾股数'.format(length = len(result))) Ht(10, 10)  

常见组合

3，4，5%20：%20勾三股四弦五

5，12，13%20：%205·21（12）记一生（13）

6，8，10：%20连续的偶数

8，15，17%20：%20八月十五在一起（17）

特殊组合

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

20以内

3%204%205；5%2012%2013；%206%208%2010；8，15，17；9%2012%2015

20-130

7%2024%2025；9%2040%2041；10%2024%2026；11%2060%2061；12%2016%2020；12%2035%2037；13%2084%2085；14%2048%2050；15%2020%2025；15%2036%2039；15%20112%20113；16%2030%2034；16%2063%2065；18%2024%2030；18%2080%2082；20%2021%2029；20%2048%2052；20%2099%20101；21%2028%2035；21%2072%2075；22%20120%20122；24%2032%2040；24%2045%2051；24%2070%2074；25%2060%2065；27%2036%2045；28%2045%2053；28%2096%20100；30%2040%2050；30%2072%2078；32%2060%2068；33%2044%2055；33%2056%2065；35%2084%2091；36%2048%2060；36%2077%2085；39%2052%2065；39%2080%2089；40%2042%2058；40%2075%2085%20；40%2096%20104；42%2056%2070%20；%2045%2060%2075%20；%2048%2055%2073%20；%2048%2064%2080%20；%2048%2090%20102%20；%2051%2068%2085%20；54%2072%2090%20；%2056%2090%20106%20；%2057%2076%2095%20；%2060%2063%2087%20；%2060%2080%20100%20；60%2091%20109%20；%2063%2084%20105%20；%2065%2072%2097%20；%2066%2088%20110%20；%2069%2092%20115%20；72%2096%20120%20；%2075%20100%20125%20；%2080%2084%20116。

三个数都在100以内共有52组。

其他公式

方法图解

三个任意半径的圆相互外切，其半径两两相加，分别是以三个圆的圆心为顶点的三角形的三个边长。如《方法图解》所示：设一直角三角形斜边为a+n,另两个直角边分别是a+b和b+n。a、b都是正整数，且a>b 。以勾股定理得

，展开并化简得：,即

，按《方法图解》步骤得

，将任意两个不相等的正整数数带入上式，注意a>b，即可得到一组勾股数。不过得到的勾股数可能不互质，要除以三个数的最大公因数，就可得到一组互质的勾股数。